Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，∠A=∠ABC，直線EF分別交△ABC的邊AB，AC和CB的延長線于點D，E，F．
（1）求證：∠F+∠FEC=2∠A；
（2）過B點作BM∥AC交FD于點M，試探究∠MBC與∠F+∠FEC的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，
∵∠A=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．
（2）∠MBC=∠F+∠FEC．
證明：∵BM∥AC，
∴∠MBA=∠A，、
∵∠A=∠ABC，
∴∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，
又∵∠F+∠FEC=2∠A，
∴∠MBC=∠F+∠FEC．
【解析】（1）根據三角形外角的性質，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根據∠A=∠ABC，即可得出答案；
（2）由BM∥AC，得出∠MBA=∠A，∠A=∠ABC，得出∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，結合（1）的結論證得答案即可．