Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠C是直角，點A在直線MN上，過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．

（1）如圖1，當C，B兩點均在直線MN的上方時，

①直接寫出線段AE，BF與CE的數量關系．

②猜測線段AF，BF與CE的數量關系，不必寫出證明過程．

（2）將等腰直角△ABC繞著點A順時針旋轉至圖2位置時，線段AF，BF與CE又有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，并寫出證明過程．

（3）將等腰直角△ABC繞著點A繼續旋轉至圖3位置時，BF與AC交于點G，若AF=3，BF=7，直接寫出FG的長度．

Answer 1

【答案】（1）①AE+BF =EC；②AF+BF=2CE；（2）AF﹣BF=2CE，證明見解析；（3）FG=．

【解析】

（1）①只要證明△ACE≌△BCD（AAS），推出AE=BD，CE=CD，推出四邊形CEFD為正方形，即可解決問題；

②利用①中結論即可解決問題；

（2）首先證明BF-AF=2CE．由AF=3，BF=7，推出CE=EF=2，AE=AF+EF=5，由FG∥EC，可知，由此即可解決問題；

（1）證明：①如圖1，過點C做CD⊥BF，交FB的延長線于點D，

∵CE⊥MN，CD⊥BF，

∴∠CEA=∠D=90°，

∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，

∴四邊形CEFD為矩形，

∴∠ECD=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，

即∠ACE=∠BCD，

又∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=BC，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（AAS），

∴AE=BD，CE=CD，

又∵四邊形CEFD為矩形，

∴四邊形CEFD為正方形，

∴CE=EF=DF=CD，

∴AE+BF=DB+BF=DF=EC．

②由①可知：AF+BF=AE+EF+BF

=BD+EF+BF

=DF+EF

=2CE，

（2）AF-BF=2CE

圖2中，過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，

∵AC=BC

可得∠AEC=∠CGB，

∠ACE=∠BCG，

在△CBG和△CAE中，

，

∴△CBG≌△CAE（AAS），

∴AE=BG，

∵AF=AE+EF，

∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，

∴AF-BF=2CE；

（3）如圖3，過點C做CD⊥BF，交FB的于點D，

∵AC=BC

可得∠AEC=∠CDB，

∠ACE=∠BCD，

在△CBD和△CAE中，

，

∴△CBD≌△CAE（AAS），

∴AE=BD，

∵AF=AE-EF，

∴AF=BD-CE=BF-FD-CE=BF-2CE，

∴BF-AF=2CE．

∵AF=3，BF=7，

∴CE=EF=2，AE=AF+EF=5，

∵FG∥EC，

∴，

∴，

∴FG=．