Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD為斜邊AB的中線．過點D作AB的垂線交AC于點E，再過A、D、E三點作⊙O．

（1）確定⊙O的圓心O的位置，并證明CD為⊙O的切線；

（2）若BC＝3，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）圓心O在AE的中點處，見解析；（2）2

【解析】

（1）求出∠ADE＝90°，根據圓周角定理求出AE為直徑，即可得出答案；求出OD⊥DC，根據切線的判定得出即可；

（2）解直角三角形求出AB，求出AD，解直角三角形求出AE即可．

（1）解：∵點D在⊙O上，DE⊥AB，

∴∠ADE＝90°，

∴AE為⊙O的直徑，

∴圓心O在AE的中點處；

證明：連接OD，

∵∠A＝30°，

∴∠COD＝2∠A＝60°，

∵在Rt△ACB中，CD為斜邊AB上的中線，

∴CD＝AB＝AD，

∴∠OCD＝∠A＝30°，

∴∠ODC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

即OD⊥DC，

∵OD過O，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，

∴AB＝2BC＝6，

∵D為AB的中點，

∴AD＝BD＝3，

在Rt△ADE中，AE＝＝＝2，

∴⊙O的直徑為2．