Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是邊BC上的動點，連接AD，點C關于直線AD的對稱點為點E，射線BE與射線AD交于點F.

（1）在圖1中，依題意補全圖形；

（2）記（），求的大小；（用含的式子表示）

（3）若△ACE是等邊三角形，猜想EF和BC的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）BC=2EF，證明見解析.

【解析】

（1）根據題意畫圖即可補全圖形；

（2）如圖3，連接AE、DE，根據軸對稱的性質可得：AE=AC，∠EAD=，進而可用α的代數式表示出∠BAF，然后在等腰△ABE中利用三角形的內角和即可求出；

（3）如圖4，設AF、CE交于點G，由△ACE是等邊三角形可得∠EAC=60°，CE=AC，然后根據軸對稱的性質可得AF⊥CE，∠FAE=，進而可得∠BAF=60°，CE=2EG，易證△EFG為等腰直角三角形，從而可得，而，進一步即可得出結論.

解：（1）補全圖形如圖2：

（2）如圖3，連接AE、DE，

∵點C關于直線AD的對稱點為點E，∴AE=AC，∠EAD=，

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AB=AE，，

∴；

（3）猜想：BC=2EF.

證明：如圖4，設AF、CE交于點G，

∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC=60°，CE=AC，

∵點C關于直線AD的對稱點為點E，

∴AF⊥CE，∠FAE=，∴∠BAF=60°，CE=2EG，

由（2）題知，∠ABF=45°+30°=75°，則在△ABF中，∠AFB=180°－∠ABF－∠BAF=45°，

∴∠GEF=45°，∴，

又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴，

∴.