Question

【題目】如圖①，直線與拋物線交于不同的兩點、 (點在點的左側).

（1）直接寫出的坐標 ； (用的代數式表示)

（2）設拋物線的頂點為，對稱軸與直線的交點為，連結、，若S△NDC=3×S△MDC，求拋物線的解析式;

（3）如圖②，在(2)的條件下，設該拋物線與軸交于、兩點，點為直線下方拋物線上一動點，連接、，設直線交線段于點，△MPQ的面積為，△MAQ的面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（b+2，2b+1）（2）見解析

【解析】

（1）構建方程組確定解的坐標即可；
（2）如圖①中，作ME⊥對稱軸l于E，NF⊥l于F．又S△MDC=S△NDC，可得ME=FN，構建方程即可解決問題；

（3）如圖②中，作AH⊥MN于H，PK⊥MN于K，設直線MN交x軸于G，連接PG、OP，設P（m，m2-2m-3），由==，因為AH為定值，所以PK最大時，的值最大，此時△PGM的面積最大，構建二次函數求出點P坐標，想辦法求出AH、PK即可解決問題.

解：（1）由，解得或，

∵點M（0，-3），

∴N（b+2，2b+1）．

故答案為（b+2，2b+1）．

（2）如圖①中，作ME⊥對稱軸l于E，NF⊥l于F．

∵拋物線的對稱軸x=，

又∵S△MDC=S△NDC，

∴ME=FN，

=×（b+2-），

解得b=2，

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3．

（3）如圖②中，作AH⊥MN于H，PK⊥MN于K，設直線MN交x軸于G，連接PG、OP，設P（m，m2-2m-3）

∵ ==,

∵AH為定值，

∴PK最大時，的值最大，此時△PGM的面積最大，

∵M（0，-3），N（4，5），

∴直線MN的解析式為y=2x-3，

∴G（，0），

∴S△PGM=S△POM+S△POG-S△MOG=×3×m+××（-m2+2m+3）-×3×=-（m-2）2+3，

∵-＜0，

∴m=2時，△PGM的面積最大，此時P（2，-3），

∵AH⊥MN，A（-1，0）

∴直線AH的解析式為y=-x-，

由 解得，可得H（1，-1），

∴AH==，

∵PK⊥MN，

∴直線PK的解析式為y=-x-2，

由解得，可得K（，-），

∴PK==，

∴的最大值===.