Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，過點的兩條直線分別交軸于，兩點，且、兩點的縱坐標分別是一元二次方程的兩個根.

（1）試問：直線與直線是否垂直？請說明理由.

（2）若點在直線上，且，求點的坐標.

（3）在（2）的條件下，在直線上尋找點，使以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）AC⊥AB，理由見解析（2）D的坐標為（2，1）（3）點P的坐標為（3，0），（，2），（3，3），（3，3＋）

【解析】

（1）求出方程x22x3＝0的兩個根得到OB，OC，由tan∠ABO＝，tan∠ACO＝，推出∠ABO＝30°，∠ACO＝60°，即可解決問題；

（2）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．由△ADE≌△ACO，推出DE＝OC＝1，AE＝OA＝，求出點D坐標；

（3）A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP；然后分別求出P的坐標即可．

（1）結論：AC⊥AB．理由如下：

∵由x22x3＝0得：

∴x1＝3，x2＝1

∴B（0，3），C（0，1），

∵A（，0），B（0，3），C（0，1），

∴OA＝，OB＝3，OC＝1，

∴tan∠ABO＝，tan∠ACO＝，

∴∠ABO＝30°，∠ACO＝60°，

∴∠BAC＝90°，

∴AC⊥AB；

（2）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．

∴∠DEA＝∠AOC＝90°，

∵tan∠ACO＝，

∵∠DCB＝60°

∵DB＝DC，

∴△DBC是等邊三角形，

∵BA⊥DC，

∴DA＝AC，

∵∠＝∠OAC，

在△ADE和△ACO中，

，

∴△ADE≌△ACO，

∴DE＝OC＝1，AE＝OA＝

∴OE＝2，

∴D的坐標為（2，1）；

（3）設直線BD的解析式為：y＝mx＋n，直線BD與x軸交于點E，

把B（0，3）和D（2，1）代入y＝mx＋n，

∴，

解得，

∴直線BD的解析式為：y＝x＋3，

令y＝0代入y＝x＋3，

∴x＝3，

∴E（3，0），

∴OE＝3，

∴tan∠BEC＝，

∴∠BEO＝30°，

同理可求得：∠ABO＝30°，

∴∠ABE＝30°，

當PA＝AB時，如圖2，

此時，∠BEA＝∠ABE＝30°，

∴EA＝AB，

∴P與E重合，

∴P的坐標為（3，0），

當PA＝PB時，如圖3，

此時，∠PAB＝∠PBA＝30°，

∵∠ABE＝∠ABO＝30°，

∴∠PAB＝∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO＝90°，

∴點P的橫坐標為，

令x＝代入y＝x＋3，

∴y＝2，

∴P（，2），

當PB＝AB時，如圖4，

∴由勾股定理可求得：AB＝=2，EB＝=6，

若點P在y軸左側時，記此時點P為P1，

過點P1作P1F⊥x軸于點F，

∴P1B＝AB＝2，

∴EP1＝62，

∴sin∠BEO＝，

∴FP1＝3，

令y＝3代入y＝x＋3，

∴x＝3，

∴P1（3，3），

若點P在y軸的右側時，記此時點P為P2，

過點P2作P2G⊥x軸于點G，

∴P2B＝AB＝2，

∴EP2＝6＋2，

∴sin∠BEO＝，

∴GP2＝3＋，

令y＝3＋代入y＝x＋3，

∴x＝3，

∴P2（3，3＋），

綜上所述，當A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（3，0），（，2），（3，3），（3，3＋）．