【題目】如圖，△ABC中，點E在BC邊上，AE=AB，將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G.
(1)求證：EF=BC；
(2)若∠ABC=62°,∠ACB=29°，求∠FGC的度數．
【答案】（1）見解析；（2）85°．
【解析】
（1）由旋轉的性質可得AC=AF，利用SAS證明△ABC≌△AEF，根據全等三角形的對應邊相等即可得出EF=BC；
（2）根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出∠BAE=180°-62°×2=56°，那么∠FAG=56°．由△ABC≌△AEF，得出∠F=∠ACB=29°，再根據三角形外角的性質即可求出∠FGC=∠FAG+∠F=85°．
（1）證明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC與△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC；
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=62°，
∴∠BAE=180°-62°×2=56°，
∴∠CAF=∠BAE =56°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠ACB=29°，
∴∠FGC=∠CAF+∠F=56°+29°=85°．
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【題目】如圖，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，點D為AB邊上的一點，
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）若DE=13，BD=12，求線段AB的長．
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【題目】如圖，是規格為8×8的正方形網格，請在所給網格中按下列要求操作：
(1)在網格中建立平面直角坐標系，使A點坐標為(-2，4)，B點坐標為(-4，2)；
(2)在(1)的前提下，在第二象限內的格點上找一點C，使點C與線段AB組成一個以AB為底的等腰三角形，且腰長是無理數，則C點的坐標是；
(3)求((2)中△ABC的周長(結果保留根號)；
(4)畫出((2)中△ABC關于y軸對稱的△A'B'C'.
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【題目】如圖，直線y＝x＋3與坐標軸分別交于A，B兩點，拋物線y＝ax2＋bx－3a經過點A，B，頂點為C，連接CB并延長交x軸于點E，點D與點B關于拋物線的對稱軸MN對稱．
（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形．
【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，頂點C的坐標為（－1，4）；（2）證明見解析．
【解析】
（1）解：∵y＝x＋3與坐標軸分別交與A，B兩點，∴A點坐標（－3，0）、B點坐標（0，3）.
∵拋物線y＝ax2＋bx－3a經過A，B兩點，
∴
解得
∴拋物線解析式為：y＝－x2－2x＋3.
∵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，
∴頂點C的坐標為（－1，4）.
（2）證明：∵B，D關于MN對稱，C（－1，4），B（0，3），
∴D（－2，3）.∵B（0，3），A（－3，0），∴OA＝OB.
又∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.
∵B，D關于MN對稱，∴BD⊥MN.
又∵MN⊥x軸，∴BD∥x軸.
∴∠DBA＝∠BAO＝45°.
∴∠DBO＝∠DBA＋∠ABO＝45°＋45°＝90°.
設直線BC的解析式為y＝kx＋b，
把B（0，3），C（－1，4）代入得，
解得
∴y＝－x＋3.
當y＝0時，－x＋3＝0，x＝3，∴E（3，0）.
∴OB＝OE，又∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝∠BAO＝45°.
∴∠ABE＝180°－∠BAE－∠BEA＝90°.
∴∠ABC＝180°－∠ABE＝90°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°.
∵CM⊥BD，∴∠MCB＝45°.
∵B，D關于MN對稱，
∴∠CDM＝∠CBD＝45°，CD∥AB.
又∵AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形.
∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是直角梯形.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】有兩組卡片，第一組三張卡片上都寫著A、B、B，第二組五張卡片上都寫著A、B、B、D、E．試用列表法求出從每組卡片中各抽取一張，兩張都是B的概率．
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【題目】一只不透明的袋子中，裝有三個分別標記為“1”、“2”、“3”的球，這三個球除了標記不同外，其余均相同．攪勻后，從中摸出一個球，記錄球上的標記后放回袋中并攪勻，再從中摸出一個球，再次記錄球上的標記．
（1）請列出上述實驗中所記錄球上標記的所有可能的結果；
（2）求兩次記錄球上標記均為“1”的概率．
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【題目】甲、乙兩名學生參加數學素質測試（有四項），每項測試成績采用百分制，成績如表：
學生 | 數與代數 | 空間與圖形 | 統計與概率 | 綜合與實踐 | 平均成績 | 方差 |
甲 | 87 | 93 | 91 | 85 | 89 | ______ |
乙 | 89 | 96 | 91 | 80 | ______ | ______ |
（1）將表格中空缺的數據補充完整，根據表中信息判斷哪個學生數學綜合素質測試成績更穩定？請說明理由.
（2）若數與代數、空間與圖形、統計與概率、綜合與實踐的成績按
，計算哪個學生數學綜合素質測試成績更好？請說明理由.
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【題目】學生小明將線段
的垂直平分線
上的點
，稱作線段的“軸點”.其中，當
時，稱為線段的“長軸點”；當
時，稱為線段的“短軸點”.
（1）如圖1，點
，
的坐標分別為
，
，則在
，
，
，
中線段的“短軸點”是______.
（2）如圖2，點的坐標為
，點在
軸正半軸上，且
.
①若為線段的“長軸點”，則點的橫坐標
的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.或
②點
為軸上的動點，點，在線段的垂直平分線的同側.若
為線段的“軸點”，當線段
與
的和最小時，求點的坐標.
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