Question

【題目】如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作圓O的切線交邊BC于點N.

（1）求證：△ODM∽△MCN；

（2）設DM=x，求OA的長（用含x的代數式表示）；

（3）在點O運動的過程中，設△CMN的周長為p，試用含x的代數式表示p，你能發現怎樣的結論？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）OA =；（3）p為定值16.

【解析】

（1）由切線性質可得OM⊥MN，∠NMC=90°-∠OMD=∠DOM，故Rt△DOM∽Rt△CMN；（2）設OA=y，Rt△ODM中，DM 2=OM 2- DO 2= OA 2- DO2,可得OA=y=；（3）（1）知相似比為，故p=.

（1）證明：∵MN為切線，∴OM⊥MN，

∴∠NMC=90°-∠OMD=∠DOM，

∴Rt△DOM∽Rt△CMN.

（2）設OA=y，Rt△ODM中，DM 2=OM 2- DO 2= OA 2- DO2,

即x2=y2-(8-y)2,解得OA=y=

（3）由（1）知△DOM ∽△CMN，相似比為，

故p=.

故p為定值16.