【題目】如圖，以
為直徑作半圓
，點
是半圓弧的中點，點
是
上的一個動點（點不與點
、重合），
交
于點
，延長
、
交于點
，過點作
，垂足為
.
（1）求證：
是
的切線；
（2）若的半徑為1，當點運動到的三等分點時，求
的長.
【答案】（1）詳見解析；（2）
或
【解析】
（1）連接
，根據同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角等于90°和等弧所對的弦相等可得：
，
，
，從而證出
≌
，然后根據等腰三角形的性質即可求出∠ACF和∠ACO，從而求出∠OCF，即可證出結論；
（2）先根據等腰直角三角形的性質求出AC、BC，再根據一個弧有兩個三等分點分類討論：情況一：當點
為靠近點
的三等分點時，根據三等分點即可求出
，再根據銳角三角函數即可求出CE，從而求出AE；情況二：當點為靠近點
的三等分點時，根據三等分點即可求出
，從而求出AP，再推導出∠PDE=30°，設
，用
表示出DE、CE和AE的長，從而利用勾股定理列出方程即可求出，從而求出AE.
（1）證明：連接
∵
為
的直徑
∴
∴
根據同弧所對的圓周角相等可得，
又∵是
的中點
∴
∴
在與中
∴≌
∴
又∵
∴
平分
∴
∵，
為的中點
∴
平分
∴
∴
∴
∴為的切線
（2）證明：如圖2
∵的半徑為1
∴
又∵
，
∴
情況一：如圖2
當點為靠近點的三等分點時
∵點是
的三等分點
∴
∴
在Rt△BCE中，
∴
情況二：如圖3
當點為靠近點的三等分點時
∵點是的三等分點
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵
，
∴
∴
∴
∴
設，則
∴
∴
又∵
∴
即
解出：
或
（應小于
，故舍去）
∴
綜上所述：或
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AC上一點，DE⊥AB于點E，點M為BD中點，CM的延長線交AB于點F.
（1）求證：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如圖2，若△DAE≌△CEM，點N為CM的中點，求證：AN∥EM.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖；
三個頂點的坐標分別為
，
，
（1）請畫出將向左平移4個單位長度后得到的圖形
；
（2）請畫出關于點
成中心對稱的圖形
；
（3）若繞點
旋轉可以得到，請直接寫出點的坐標；
（4）在
軸上找一點
，使
的值最小，請直接寫出點的坐標.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC上的一點，且BF＝3CF，連接AE、AF、EF，下列結論：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝ADAF，其中正確結論的個數是（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，拋物線與x軸的另一交點為B．
（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（―3，6）、B（―9，一3），以原點O為位似中心，相似比為
，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】一個三位自然數
（百位上的數字為
，十位上的數字為
，個位上的數字為
）. 若滿足
，則稱這個三位數為“和悅數”，并規定
. 如231，因為它的百位上的數字2與個位上的數字1之和等于十位上的數字3. 所以231是“和悅數”，所以
.
（1）請任意寫出兩個“和悅數”，并猜想任意一個“和悅數”是否是11的倍數，請說明理由；
（2）已知有兩個十位上的數字相同的“和悅數”
，若
，求
的值.
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