Question

【題目】在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如圖1，當PQ∥AB時，求PQ的長度；
（2）如圖2，當點P在BC上移動時，求PQ長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：（1）連結OQ，如圖1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=，

∴OP=3tan30°=，

在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

∴PQ==；

（2）

（2）連結OQ，如圖2，

在Rt△OPQ中，PQ==，

當OP的長最小時，PQ的長最大，

此時OP⊥BC，則OP=OB=，

∴PQ長的最大值為=．

【解析】（1）連結OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計算出PQ=；
（2）連結OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據勾股定理得到PQ=，則當OP的長最小時，PQ的長最大，根據垂線段最短得到OP⊥BC，則OP=OB=，所以PQ長的最大值=．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．