Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于點A（-3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．

（3）點G是拋物線上的動點，點F在x軸上的動點，若以A，C，F，G四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點F坐標（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）QD最大值為；（3）（-1，0），（-5，0），（，0），（，0）．

【解析】

（1）將點A、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答；

（2）利用待定系數法求一次函數解析式求出直線AC的解析式，然后表示出DQ，再根據二次函數的最值問題解答；

（3）設點，再分情況根據平行四邊形的性質求出所有滿足條件的點F坐標即可．

將點，點代入得

解得

∴拋物線的函數表達式為

（2）設直線AC的解析式為

則

解得

∴直線AC的解析式為，

∴當時，線段DQ長度的最大值為

（3）設點，

①如圖，

∵，點，點

∴

解得

∴

∴

∴

②如圖，

∵，點，點

∴

解得

∴

∴

∴

③如圖，

∵平行四邊形對角線互相平分

∴點C和點G的縱坐標之和為0

∵點

∴

解得

當時，對角線交點坐標為

∴

④如圖，根據③可得

當時，對角線交點坐標為

∴

故所有滿足條件的點F的坐標為（-1，0），（-5，0），（，0），（，0）．