Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點（不與點B、點C重合），連接OC、OP，將線段OP繞點P順時針旋轉60°，得到線段PQ，連接BQ．

（1）如圖1，當點P在線段BC上時，試猜想寫出線段CP與BQ的數量關系，并證明你的猜想；

（2）如圖2，當點P在CB延長線上時，（1）中結論是否成立？（直接寫“成立”或“不成立”即可，不需證明）．

Answer 1

【答案】(1) BQ＝CP．理由見解析;(2) 成立：PC＝BQ, 理由見解析.

【解析】

（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠ABC=60°，根據直角三角形斜邊上中線性質得到OB=OC，則可判斷△OCB、△CPH為等邊三角形，作輔助線PH∥AB交CO于H，證明△POH≌△QPB全等可得PH＝QB= PC；

(2)與（1）的證明方法同樣得到△POH≌△QPB，可得PH＝QB= PC。

解：（1）結論：BQ＝CP．

理由：如圖1中，作PH∥AB交CO于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，點O為AB中點，

∴CO＝AO＝BO，∠CBO＝60°，

∴△CBO是等邊三角形，

∴∠CHP＝∠COB＝60°，∠CPH＝∠CBO＝60°，

∴∠CHP＝∠CPH＝60°，

∴△CPH是等邊三角形，

∴PC＝PH＝CH，

∴OH＝PB，

∵∠OPB＝∠OPQ+∠QPB＝∠OCB+∠COP，

∵∠OPQ＝∠OCP＝60°，

∴∠POH＝∠QPB，

∵在△POH與△QPB中

，

∴△POH≌△QPB（SAS），

∴PH＝QB，

∴PC＝BQ．

（2）成立：PC＝BQ．

理由：作PH∥AB交CO的延長線于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，點O為AB中點，

∴CO＝AO＝BO，∠CBO＝60°，

∴△CBO是等邊三角形，

∴∠CHP＝∠COB＝60°，∠CPH＝∠CBO＝60°，

∴∠CHP＝∠CPH＝60°，

∴△CPH是等邊三角形，

∴PC＝PH＝CH，

∴OH＝PB，

∵∠POH＝60°+∠CPO，∠QPO＝60°+∠CPQ，

∴∠POH＝∠QPB，

∵在△POH與△QPB中

，

∴△POH≌△QPB（SAS），

∴PH＝QB，

∴PC＝BQ．