Question

【題目】二次函數(shù)y＝ax2+2x﹣2，若對(duì)滿足3＜x＜4的任意實(shí)數(shù)x都有y＞0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____．

Answer 1

【答案】a>-

【解析】

方法1：由題意可得ax2+2x-2＞0，即為a＞對(duì)3＜x＜4成立，求得右邊函數(shù)的取值范圍，即可得到所求a的范圍．

方法二：分情況討論：①時(shí)，拋物線開口向上，時(shí)符合題意，時(shí)，由于拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，可知x=3時(shí)y＞0，則符合題意；②時(shí)，拋物線開口向下，則同時(shí)滿足x=3，x=4時(shí)，y＞0，則符合題意．

方法一：解：若對(duì)滿足3＜x＜4的任意實(shí)數(shù)x都有y＞0成立，

即有ax2+2x﹣2＞0，即為a＞，且 3＜x＜4，

由y=在3＜x＜4內(nèi)y隨x的增大而增大，

因?yàn)楫?dāng)x＝3，可得y=＝﹣，當(dāng)x＝4，可得y=＝﹣，

所以﹣＜＜﹣，

所以a>-

有∵a≠0，

故答案為：a>-且a≠0．

方法二：解：①當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，

若，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有y＞0，

即，解得，

與矛盾，此種情況不存在；

若，即，解得

∵拋物線對(duì)稱軸

∴拋物線在3＜x＜4時(shí)y隨x的增大而增大

當(dāng)x=3時(shí)，y＞0，則滿足3＜x＜4的任意實(shí)數(shù)x都有y＞0成立

即9a+6-2＞0，解得

∴時(shí)，滿足3＜x＜4的任意實(shí)數(shù)x都有y＞0成立

②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下

同時(shí)滿足x=3，x=4時(shí)，y＞0，則滿足3＜x＜4的任意實(shí)數(shù)x都有y＞0成立

即

解得

∴

故答案為：或