Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系 中，已知 ， 兩點的坐標分別為 ， ， 是線段 上一點（與 ， 點不重合），拋物線 （ ）經過點 ， ，頂點為 ，拋物線 （ ）經過點 ， ，頂點為 ， ， 的延長線相交于點 ．

（1）若 ， ，求拋物線 ， 的解析式；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）是否存在這樣的實數 （ ），無論 取何值，直線 與 都不可能互相垂直？若存在，請直接寫出 的兩個不同的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題可得：

解得 ：

所以拋物線L1的解析式為y=-x2-x-2.

同理，

解得 ：

所以拋物線L2的解析式為y= -x2+x+2.

（2）

解：如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EH⊥x軸于點H.

依題可得：

解得

∴拋物線L1的解析式為y=-x2+（m-4）x+4m.

∴點D的坐標為（-,）.

∴DG==,AG=.

同理可得，拋物線L2的解析式為y=-x2+（m+4）x-4m

EH== ，BH=.

∵AF⊥BF，DG⊥x軸，EH⊥x軸

∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°

∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF

∴△ADG∽△EBH

∴=.
∴=

∴m=2或m=-2.

（3）

解：存在，例如a=-,a=-.

【解析】（1）把a、m代入得到已知點，把點代入函數解析式構成方程組，根據待定系數法可求出函數解析式.
（2）如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EH⊥x軸于點H，把a=-1代入函數解析式，然后結合（m,0）和（-4，0）代入可解出函數解析式L1 ， 然后分別求出D點坐標，得到DG,AG的長，同理得到L2;求得EH,BH的長，再根據三角形相似的判定與性質構造方程求解即可.
（3）根據前面的解答，直接寫出即可.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．