Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC=5，AB=3，分別經過點B和點D的兩個動圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點G、H、E、F，則EF+GH的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，設GH的中點為O， 過O點作OM⊥AC，過B點作BN⊥AC，垂足分別為M、N，

在Rt△ABC中，BC=5，AB=3，
∴AC= = ，
由面積法可知，BNAC=ABBC，
解得BN= ，
∵∠B=90°，
∴GH為⊙O的直徑，點O為過B點的圓的圓心，
∵⊙O與AC相切，
∴OM為⊙O的半徑，
∴BO+OM為直徑，
又∵BO+OM≥BN，
∴當BN為直徑時，直徑的值最小，
此時，直徑GH=BN= ，
同理可得：EF的最小值為 ，
∴EF+GH的最小值是 = ．
所以答案是： ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．