Question

【題目】已知拋物線與x軸交于不同的兩點和，與y軸交于點C，且是方程的兩個根（）．

【1】求拋物線的解析式；

【2】過點A作AD∥CB交拋物線于點D，求四邊形ACBD的面積；

【3】如果P是線段AC上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作平行于x軸的直線l交BC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】

【1】解方程，得．

∴點，點．

∴

解，得

∴拋物線的解析式為．

【2】∵拋物線與y軸交于點C．

∴點C的坐標為（0，2）．

又點，可求直線BC的解析式為．

∵AD∥CB，∴設直線AD的解析式為．

又點，∴，直線AD的解析式為．

解，得，

∴點D的坐標為（4，）．

過點D作DD’軸于D’， DD’＝，則又AB＝4．

∴四邊形ACBD的面積＝ABOC+ABDD’＝

【3假設存在滿足條件的點R，設直線l交y軸于點E（0，m），

∵點P不與點A、C重合，∴0< m <2，∵點，點，

∴可求直線AC的解析式為，∴點．

∵直線BC的解析式為，∴點．

∴．在△PQR中，

①當RQ為底時，過點P作PR1⊥x軸于點R1，則∠R1PQ＝90°，PQ＝PR1＝m．

∴，解得，∴點，

∴點R1坐標為（，0）．

②當RP為底時，過點Q作Q R2⊥x軸于點R2，

同理可求，點R2坐標為（1，0）．

③當PQ為底時，取PQ中點S，過S作SR3⊥PQ交x軸于點R3，則PR3＝QR3，∠PR3Q＝90°．∴PQ＝2R3S＝2m．∴，解，得，

∴點，點，可求點R3坐標為（，0）．

經檢驗，點R1，點R2，點R3都滿足條件．

綜上所述，存在滿足條件的點R，它們分別是R1（，0），R2（1，0）和點R3（，0）．

【解析】略