Question

【題目】如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋bx＋6相交于A(， )和B(4，m)，點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)是否存在這樣的點(diǎn)P，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝2x2－8x＋6(2)存在符合條件的點(diǎn)P(， )，使線段PC的長有最大值.(3)滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，為P1(3，5)，P2(， )．

【解析】試題分析：（1）通過直線AB的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)。將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中得到一組關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值并代回拋物線的解析式中即可。

（2）根據(jù)直線AB的解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)。點(diǎn)P與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，由拋物線的解析式得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出PC關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的表達(dá)式。根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出PC的長的最大值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）當(dāng)△PAC是直角三角形時(shí)，有①∠PAC=90°和②∠PCA=90°這兩種情況，分別求出這兩種情況下的點(diǎn)P的坐標(biāo)即可。

解：(1)∵B(4，m)在直線y＝x＋2上，

∴m＝6，B(4，6)．

∵A(，)、B(4，6)在拋物線y＝ax2＋bx＋6上，

∴解得

∴所求拋物線的表達(dá)式為y＝2x2－8x＋6.

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n，n＋2)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(n，2n2－8n＋6)．

∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋.∵a＝－2＜0，

∴當(dāng)n＝時(shí)，線段PC取得最大值，此時(shí)，P(，)．

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)P(，)，使線段PC的長有最大值.

(3)顯然，∠APC≠90°，如圖1，當(dāng)∠PAC＝90°時(shí)，設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝－x＋b，把A(，)代入，得－＋b＝.解得b＝3.由－x＋3＝2x2－8x＋6，得x1＝3或x2＝ (舍去)．

當(dāng)x＝3時(shí)，x＋2＝3＋2＝5.此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(3，5)．

如圖2，當(dāng)∠PCA＝90°時(shí)，由A(，)知，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y＝.

由2x2－8x＋6＝，得x1＝ (舍去)，x2＝.當(dāng)x＝時(shí)，x＋2＝＋2＝.

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2(，)．

綜上可知，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，為P1(3，5)，P2(，)．