Question

【題目】如圖，點在直線上，過點作，且，點在射線上（點不與點重合），且滿足，，與交于點，過點作于點．設．

（1）用含的代數式表示的長；

（2）①線段的長是________；

②線段的長是_________；（用含的代數式表示）

（3）當為何值時，有最小值？并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）時，的最小值．

【解析】

（1）首先證明，然后根據相似三角形性質進一步得出，再結合勾股定理所得的進一步對式子進行分析求解即可；

（2）①延長和交于點，通過證明，由此進一步得出，然后再證明出，最后利用相似三角形性質求出CD即可；②先證明，據此進一步得出，由此得出，最后進一步證明，從而得出答案即可；

（3）過點作于點，通過證明，由此得出，然后得出，根據當點運動時，總有，所以當點與點重合，即時，的最小值，由此求出的最小值，最后根據題意進一步求出即可.

（1）在和中，

∵，90°，

∴，

∴，即，

又根據勾股定理可得：，

∴，

∴；

（2）

①

如圖，延長和交于點，

∵，，且，

∴，則有，即，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

②∵，，

∴∠ABP+∠APB=∠ABP+∠ABQ=90°，

∴∠APB=∠ABQ，

∴，

∴，

∴，

即，

∴，

由①知，結合可得：，

∴，

∴，

故答案為：①8；②；

（3）

如圖，過點作于點，

∵∠BAP=∠BFP，∠APB=∠FPB，PB=PB，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴當點運動時，總有，

∴當點與點重合，即時，的最小值，

則的最小值．

此時，如圖所示，

其中，即，解得或（不符合題意，舍去）．