Question

【題目】（定義）若一個四邊形恰好關于其中一條對角線所在的直線對稱，則我們將這個四邊形叫做鏡面四邊形．

（理解）（1）下列說法是否正確（對的打√，錯的打×）

①平行四邊形是一個鏡面四邊形　 　

②鏡面四邊形的面積等于對角線積的一半．　 　

（2）如圖（1），請你在4×4的網格（每個小正方形的邊長為1）中畫出一個鏡面四邊形，使它圖（1）的頂點在格點上，且有一邊長為．

（應用）（3）如圖（2），已知鏡面四邊形ABCD，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，AB≠BC，P是AD上一點，AE⊥BP的延長線上取一點F，使EF＝BE，連接AF，作∠FAD的平分線AG交BF于G，CM⊥BF于M，連接CG．

①求∠EAG的度數．

②比較BM與EG的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①×；②√；（2）見解析；（3）①30°；②BM＝EG，見解析

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質和鏡面四邊形的定義，直接判斷；

（2）由鏡面四邊形的意義，得到必有兩邊是，一個直角，畫出圖形即可

（3）①根據角平分線的定義得到∠EAF＝∠BAF，∠GAF＝∠FAD計算；②先判斷△ABE∽△BCM，通過計算判斷出BM＝EG

解：（1）①∵平行四邊形不一定關于任何一條對角線對稱，

∴錯誤，

故答案×；

②∵鏡面四邊形關于對角線對稱，

∴鏡面四邊形的兩條對角線互相垂直，

∴鏡面四邊形的面積等于對角線積的一半；

故答案為√．

（2）∵有一邊長為．

∴鏡面四邊形必有兩邊是．

如圖（1）

（3）①∵AE⊥BP，EF＝BE，

∴AB＝AF，

∴∠EAF＝∠BAF，

∵∠GAF＝∠FAD，

∴∠EAG＝∠EAF﹣∠GAF＝∠BAF﹣∠FAD＝∠BAD＝30°；

②BM＝EG，

理由如下：如圖（2）連接AC，

∵∠ABC＝90°，∠BAD＝60°，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝∠AEB＝∠CMB＝90°，

∴∠BAE+∠ABF＝∠ABP+∠ABF＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

∴△ABE∽△BCM，

∴，

∴AE＝BM，

∵∠EAG＝30°，AE⊥BP，

∴AE＝EG，

∴BM＝EG．