Question

【題目】如圖，在四邊形中， ，延長至點，連接，且交于點，和的角平分線相交于點.

（1）求證：①；②；

（2）若，，求的度數；

（3）若，請你探究和之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）65°；（3），見解析.

【解析】

（1）①根據平行線的性質與判定證明即可；②過點P作PQ∥AB，則∠EAP=∠APQ，再根據平行線的性質證明即可；

（2）由AD∥BC，AB∥CD，可得∠EAD=∠B=70°，∠ECD=∠E=60°，再根據角平分線的性質解答即可；

（3）過點F作FH∥AB，根據平行線的性質以及角的和差關系解答即可．

（1）證明：①∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，

∵∠B=∠D，∴∠EAD=∠D，

∴AB∥CD；

②過點P作PQ∥AB，則∠EAP=∠APQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠DCP=∠CPQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠DCP=∠CPQ，

∵∠EAP=∠EAD，∠DCP=∠ECD，

∴∠EAD+∠ECD＝∠APC；

（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，

∴∠EAD=∠B=70°，∠ECD=∠E=60°，

由（1）知∠EAD+∠ECD=2∠APC，

∴∠APC= (70°+60°)＝65°；

（3）過點F作FH∥AB，則∠EAD=∠AFH，

∵AB∥CD，

∴FH∥CD，

∴∠ECD=∠CFH，

∴∠EAD+∠ECD=∠AFH+∠CFH=∠AFC=∠EFD，

由（1）知∠EAD+∠ECD=2∠APC，

∴∠EFD=2∠APC，

∵∠APC=m°，∠EFD=n°，

∴m＝n．