Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，該拋物線的頂點D的縱坐標是﹣4．

（1）求點A、B的坐標；

（2）設直線與直線AC關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的表達式；

（3）平行于x軸的直線b與拋物線交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），與直線交于點P（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，結合函數圖象，求x1+x2+x3的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0）B（1，0）；（2）直線的表達式為y＝x﹣1；（3）﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．

【解析】

（1）根據題意求得m＝1，從而求得解析式，令y＝0，解方程即可求得A、B的坐標；

（2）根據軸對稱求得對稱點的坐標，然后根據待定系數法即可求得；

（3）由 1，得出x1＋x2＝2，由題意可知2＜x3＜1，即可求得4＜x1＋x2＋x3＜1．

解：（1）∵拋物線 y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）的頂點D的縱坐標是﹣4，

∴4，解得m＝1，

∴y＝x2+2x﹣3，

令y＝0，則 x＝﹣3或1，

∴A（﹣3，0）B（1，0）；

（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1，

∵點C（0，﹣3）關于拋物線的對稱軸的對稱點坐標是E（﹣2，﹣3），點A（﹣3，0）關于該拋物線的對稱軸的對稱點坐標是B（1，0），

設直線的表達式為y＝kx+b，

∵點E（﹣2，﹣3）和點B（1，0）在直線上

∴，解得，

∴直線的表達式為y＝x﹣1；

（3）由對稱性可知 1，

∴x1+x2＝﹣2，

∵x1＜x3＜x2，

∴﹣2＜x3＜1，

∴﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．