Question

【題目】如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是半徑OA的中點，過點C作OA的垂線交AB于點E，且與BE的垂直平分線交于點D，連接BD．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，CE＝1，試求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBD＝90°，即可證明BD是⊙O的切線；

（2）根據三角函數的定義得到，求得∠A＝30°，得到∠DEB＝∠AEC＝60°，推出△DEB是等邊三角形，得到BE＝BD，設EF＝BF＝x，求得AB＝2x+2，過O作OH⊥AB于H，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接OB，

∵OB＝OA，DE＝DB，

∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，

∴∠OBA+∠ABD＝90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵⊙O的半徑為，點C是半徑OA的中點，

∴，

∵CE＝1，

∴，

∴∠A＝30°，

∵∠ACE＝90°，

∴∠DEB＝∠AEC＝60°，

∵DF垂直平分BE，

∴DE＝DB，

∴△DEB是等邊三角形，

∴BE＝BD，

設EF＝BF＝x，

∴AB＝2x+2，

過O作OH⊥AB于H，

∴AH＝BH＝x+1，

∵，

∴，

∴AB＝6，

∴BD＝BE＝AB﹣AE＝4．