Question

【題目】綜合與探究：如圖，二次函數經過點B（4，0）和點E（-2，-3）兩點，與x軸的另一個交點為A．點D是線段BE上的動點，過點D作DF⊥BE，交y軸于點F，交拋物線于點P．

（1）求出拋物線和直線BE的解析式；

（2）當△DCF≌△BOC時，求出此時點D的坐標；

（3）設點P的橫坐標為m．

①請寫出線段PD的長度為（用含m的式子表示）；

②當m為何值時，線段PD有最大值，并寫出其最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1），y=x-2；（2）點D的坐標為（，）或（，）；（3）①；②當m=1時，PD有最大值為．

【解析】

（1）設直線BE的解析式為y=kx+t，把B、E坐標分別代入和y=kx+t，求出b、c、k、t的值即可得答案；

（2）根據BE解析式可得C點坐標，利用勾股定理可求出BC的長，當點F在點C上方時，由全等三角形得性質可得OC=CD，過點D作DH⊥OB，垂足為H，可得DH//OC，根據平行線分線段成比例定理可得，可求出OH的長，代入BE解析式求出y值即可得點D坐標；同理可求出當點F在點C下方時點D的坐標；

（3）①過點P作PQ//FC，交BE于Q，根據拋物線及BE解析式可用m表示出P、Q坐標，即可表示出PQ得長，根據平行線得性質可得∠OCB=∠PQD，可得∠PQD得正弦值，利用∠PQD的正弦即可表示出PD的長；

②根據二次函數得性質即可得答案．

（1）把B（4，0），E（-2，-3）代入拋物線的解析式得：，

解得b=，c=2．

∴拋物線的解析式為，

設直線BE的解析式為y=kx+t，

∵B（4，0），E（-2，-3），

∴，

解得k=，b=-2．

∴直線BE的解析式為y=x-2．

（2）當x=0時，y=x-2=-2．

∴C的坐標是（0，-2）

如圖，當點F在點C上方時，

∵△DCF≌△OCB，

∴CD=OC=2．

∴BC=，

過點D作DH⊥OB，垂足為H．

∴DH//OC，

∴．

∴．

∴OH=．

把x=代入y=x-2得，y=．

∴點D的坐標為（，）．

如圖，當點F在點C下方時，

∵△DCF≌△OCB，

∴CD=OC=2．

過點D作DH⊥OF，垂足為H．

∴DH//OC，

∴．

∴．

∴DH=

把x=代入y=x-2得，y=．

∴點D的坐標為（，）．

（3）①如圖，過點P作PQ//FC，交BE于Q，

∴∠OCB=∠PQD，

∵sin∠PQD=sin∠OCB==，

∵點P橫坐標為m，

∴P（m，），Q（m，），

∴PQ=-（）=，

∴PD=PQ·sin∠PQD=（）=．

②∵PD==（m-1）2+，

∴當m=1時，PD有最大值．