Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，點D是AC上一點，且BC=BD=2，將Rt△ABC繞點C旋轉到Rt△FEC的位置，并使點E在射線BD上，連接AF交射線BD于點G，則AG的長為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠CBD=∠CAF，從而得到△BCD和△AGD相似，根據相似三角形對應邊成比例求出AD=AG，過點B作BH⊥CD于H，根據等腰三角形三線合一的性質可得CD=2CH，再解直角三角形求出CH、AC的長，然后根據AD=AC-CD代入數據進行計算即可得解．

∵△ABC以點C為旋轉中心順時針旋轉得到△FEC，

∴BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF（為旋轉角），

∵∠CBD=（180°-∠BCE），∠CAF=（180°-∠ACF），

∴∠CBD=∠CAF，

又∵∠BDC=∠ADG，

∴△BCD∽△AGD，

∴=，

∵BC=BD，

∴AG=AD，

則CD=2CH，

∵sin∠BAC=，BC=2，

∴==，

即==，

解得CH=，AC=6，

∴CD=2×=，

AD=AC-CD=6-=，

∴AG=AD=.

故答案為：