Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別是直線BC、AC上的點，且BD=CE.

(1)如圖①，當點D、E分別在線段BC、AC上時，BE與AD相交于點F.求∠AFB的度數.

(2)如圖②，當點D在CB的延長線上，點E在AC的延長線上時，CF為△ABC的高線則線段CD、AF、CE、之間的數量關系是 ,并加以證明.

(3)在①的條件下，連接FC，如圖③，若∠DFC=90°，AF= 3，求BF的長.

Answer 1

【答案】(1)120°;(2) ;（3）.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質直接利用SAS證明△ABD≌△BCE，得到∠BAD＝∠CBE，然后根據三角形內角和定理可求∠AFB的度數；

（2）根據等邊三角形的性質直接利用SAS證明△ABD≌△BCE，得到BD=CE，然后根據等邊三角形三線合一的性質可得BC=2AF，易得CD=BC+BD=2AF+CE；

（3）將△ABF繞點B順時針旋轉60°得到△CBM，連接FM，根據旋轉的性質可得△BMF為等邊三角形，求出A、F、M三點共線，∠FMC＝60°，結合∠DFC=90°，利用含30度直角三角形的性質可求出MF，然后可得BF.

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD＝∠CBE，

∵∠AFB＋∠BAD＋∠ABF＝180°，

∴∠AFB＋∠CBE＋∠ABF＝180°，

∵∠CBE＋∠ABF＝∠ABC＝60°，

∴∠AFB＝120°；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABD＝∠BCE，

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴BD=CE，

∵CF為△ABC的高線，

∴AB=2AF，即BC=2AF，

∴CD=BC+BD=2AF+CE；

（3）如圖，將△ABF繞點B順時針旋轉60°得到△CBM，連接FM，

則BF=BM，∠FBM＝60°，

∴△BMF為等邊三角形，

∴∠BFM＝60°，

∵∠AFB＝120°，

∴A、F、M三點共線，∠BMC＝∠AFB＝120°，

∴∠FMC＝∠BMC－∠BMF＝120°－60°＝60°，

∵∠DFC=90°，AF=，

∴MC=AF=，

∴，

∴.