Question

【題目】如圖，CD是經過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E，F是直線CD上的兩點，且∠BEC＝∠CFA＝α.

(1)若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖(a)，若∠BCA＝90°，α＝90°，則BE________CF，EF________|BE－AF|(填“>”“<”或“＝”)；

②如圖(b)，若0°＜∠BCA＜180°，請添加一個關于α與∠BCA關系的條件________，使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立；

(2)如圖(c)，若直線CD經過∠BCA的外部，∠BCA＝α，請寫出EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想(不要求證明)．

Answer 1

【答案】(1)①＝，＝；②所填的條件是：α＋∠BCA＝180°.證明見解析；(2)EF＝BE＋AF.

【解析】

(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可

(2)求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可.

解：(1)①如圖，E點在F點的左側，

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，

∴∠BEC=∠AFC=90°，

∴∠BCE＋∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF(AAS)，

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CF－CE=BE－AF，

當E在F的右側時，同理可證EF=AF－BE，

∴EF=|BE－AF|；

②∠α＋∠ACB=180°時，①中兩個結論仍然成立；

證明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α＋∠ACB=180°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CF－CE=BE－AF，

當E在F的右側時，同理可證EF=AF－BE，

∴EF=|BE－AF|；

(2)EF=BE＋AF

理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA(AAS)，

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE＋CF，

∴EF=BE＋AF.