Question

【題目】如圖，點在的直徑的延長線上，點在上，且AC=CD，∠ACD=120°.

（1）求證：是的切線；

（2）若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）圖中陰影部分的面積為π.

【解析】

（1）連接OC．只需證明∠OCD＝90°．根據等腰三角形的性質即可證明；

（2）先根據直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半求出OD，然后根據勾股定理求出CD，則陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積．

（1）證明：連接OC．

∵AC＝CD，∠ACD＝120°，

∴∠A＝∠D＝30°．

∵OA＝OC，

∴∠2＝∠A＝30°．

∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，

即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．

∴S扇形BOC＝＝．

在Rt△OCD中，∠D＝30°，

∴OD＝2OC＝4，

∴CD＝＝．

∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×＝．

∴圖中陰影部分的面積為：－．