Question

如圖所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC上運動（不能到達點B，C），過點D作∠ADE=45°，DE交AC于點E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）首先根據等腰直角三角形的兩個底角都是45°，得到一對對應角相等；再根據三角形的外角的性質得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，從而證明∠EDC=∠BAD，根據兩個角對應相等，得到兩個三角形相似；
（2）根據等腰三角形的定義，此題要分三種情況進行分析討論．根據等腰三角形的性質進行計算．

解答：（1）證明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．
又∵∠ADE=45°，
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．
∴∠EDC=∠BAD．
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：討論：①若AD=AE時，∠DAE=90°，此時D點與點B重合，不合題意．
②若AD=DE時，△ABD與△DCE的相似比為1，此時△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=2，BC=2

2

，AE=AC-EC=2-BD=2-（2

2

-2）=4-2

2

③若AE=DE，此時∠DAE=∠ADE=45°，
如下圖所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三線合一可知：AE=CE=

1

2

AC=1．

點評：熟練運用等腰直角三角形的性質，特別注意第二問要分情況進行討論解題．