Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，下列結論正確的有（ ）
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD2=ACDC；④點D是AC的黃金分割點．

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于點D，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正確；
②∵△BCD是△ABC的一部分，
∴②錯誤；
③由①知：∠CBD=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=CDAC，
∵AD=BD=BC，AD2=CDAC，
∴③正確；
④設AD=x，AC=AB=1，CD=AC﹣AD=1﹣x，
由AD2=CDAC，得x2=（1﹣x），
解得x=± ﹣1（舍去負值），
∴AD= ，
∴④正確．
正確的有3個．
故選C．
在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，可推出△BCD，△ABD為等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正確；由三角形的面積公式得出②正確；利用三角形相似的判定與性質得出③④正確，即可得出結果．