Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為P，且與y軸交于點A，與直線交于點B，C（點B在點C的左側）.

（1）求拋物線的頂點P的坐標（用含a的代數式表示）；

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點，記拋物線與線段AC圍成的封閉區域（不含邊界）為“W區域”.

①當時，請直接寫出“W區域”內的整點個數；

②當“W區域”內恰有2個整點時，結合函數圖象，直接寫出a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）頂點P的坐標為；（2）① 6個；② ，．

【解析】

（1）由拋物線解析式直接可求；
（2）①由已知可知A（0，2），C（2+ ，-2），畫出函數圖象，觀察圖象可得；
②分兩種情況求：當a＞0時，拋物線定點經過（2，-2）時，a=1，拋物線定點經過（2，-1）時，a= ，則＜a≤1；當a＜0時，拋物線定點經過（2，2）時，a=-1，拋物線定點經過（2，1）時，a=-，則-1≤a<-．

解：（1）∵y=ax2-4ax+2a=a（x-2）2-2a，
∴頂點為（2，-2a）；
（2）如圖，①∵a=2，
∴y=2x2-8x+2，y=-2，
∴A（0，2），C（2+，-2），
∴有6個整數點；

②當a＞0時，拋物線定點經過（2，-2）時，a=1，
拋物線定點經過（2，-1）時，，；

∴ ．

當時，拋物線頂點經過點（2，2）時，；

拋物線頂點經過點（2，1）時，；

∴ ．

∴綜上所述：，．