Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將△ABC繞點A逆時針方向旋轉，得到△ADE，旋轉角為α（0°<α<90°），直線BD與CE交于點F．

（1）如圖1，當α=45°時，求證：CF=EF；

（2）如圖2，在旋轉過程中，當α為任意銳角時，

① ∠CFB的度數是否變化？若不變，請求出它的度數；

② 結論“CF=EF”，是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①不變，45°；②仍然成立，理由見解析

【解析】

（1）首先證明∠ACE=∠CDF，推出CF=DF ，再證明∠CED=∠EDF，推出CF=EF即可解決問題；

（2））①由△ABD與△ACE均為頂角為α的等腰三角形，所以∠ABD=∠ACE．由∠ABD+∠AOB+∠CAB=∠ACE+∠COF+∠CFB=180°可得∠CFB=∠CAB=45°；

②作EG∥CB交BF延長線于點G．可推出∠EDG=∠CBF．由 EG∥CB，可得∠G=∠CBF=∠EDG，可證明△FEG≌△FCB，即可的答案．

解：（1）當α=45°時，

由旋轉可知：AB=AD，AC=AE,∠CAB=∠CAE=45°,∠ADE=∠ABC=90°

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=67.5°，

∴∠CDF=∠ADB=67.5°，

∵AC=AE，

∠AEC=∠ACE=67.5°．

∴∠ACE=∠CDF=67.5°，

∴CF=DF．

在Rt△CDE中，∠CED=∠EDF=90°-67.5°=22.5°，

∴EF=DF．

∴CF=EF

（2）①∠CFB的度數不變，∠CFB=45°．

∵△ABD與△ACE均為頂角為α的等腰三角形，

所以底角相等，

即∠ABD=∠ACE．

設AC與BF的交點為O，則∠AOB=∠COF．

∵∠ABD+∠AOB+∠CAB=∠ACE+∠COF+∠CFB=180°，

∴∠CFB=∠CAB=45°．

② 結論“CF=EF”，仍然成立．證明如下：

如圖，作EG∥CB交BF延長線于點G．

∵∠ABD=∠ADB，

又∵∠EDG+∠ADB=∠CBF+∠ABD=90°，

∴∠EDG=∠CBF．

∵ EG∥CB，

∴∠G=∠CBF=∠EDG，

∴EG=ED．又ED=BC，

∴EG=BC．

∴△FEG≌△FCB．

∴EF=CF