Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2﹣2mx+n（m＜0）的頂點為A，與x軸交于B，C兩點（點B在點C左側），與y軸正半軸交于點D，連接AD并延長交x軸于E，連AC、DC．S△DEC：S△AEC=3：4．

（1）求點E的坐標；

（2）△AEC能否為直角三角形？若能，求出此時拋物線的函數表達式；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（﹣3，0）；（2）二次函數解析式為：y=﹣x2+x+．

【解析】試題分析：（1）根據題意畫出圖形，再利用相似三角形的判定與性質得出EO：OF=3：1，進而得出EO的長即可得出答案；

（2）由題意可知，AE，AC不可能與x軸垂直，再得出△EFA∽△AFC，求出m的值，進而得出答案．

試題解析：解：（1）如圖所示：設此拋物線對稱軸與x軸交于點F，∴S△DEC：S△AEC=DO：AF=3：4．∵DO∥AF，∴△EDO∽△EAF，∴EO：EF=DO：AF=3：4，∴EO：OF=3：1，由y=mx2﹣2mx+n（m＜0）得：A（1，n﹣m），D（0，n），∴OF=1，∴EO=3，∴E（﹣3，0）；

（2）∵DO：AF=3：4，∴=，∴n=﹣3m，∴y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x2﹣2x﹣3）

=m（x﹣3）（x+1），∴B（﹣1，0），C（3，0），A（1，﹣4m），由題意可知，AE，AC不可能與x軸垂直，∴若△AEC為直角三角形，則∠EAC=90°．又∵AF⊥EC，可得：△EFA∽△AFC，∴=，即=．∵m＜0，∴m=﹣，∴二次函數解析式為：y=﹣x2+x+．