Question

【題目】如圖，已知點A，B，C在半徑為4的⊙O上，過點C作⊙O的切線交OA的延長線于點D．

（Ⅰ）若∠ABC=29°，求∠D的大小；

（Ⅱ）若∠D=30°，∠BAO=15°，作CE⊥AB于點E，求：

①BE的長；

②四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠D=32°；（2）①BE＝；②

【解析】

（Ⅰ）連接OC, CD為切線，根據切線的性質可得∠OCD=90°，根據圓周角定理可得∠AOC=2∠ABC=29°×2=58°，根據直角三角形的性質可得∠D的大小.

（Ⅱ）①根據∠D=30°，得到∠DOC=60°，根據∠BAO=15°，可以得出∠AOB=150°，進而證明△OBC為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得出

根據圓周角定理得出根據含角的直角三角形的性質即可求出BE的長；

②根據四邊形ABCD的面積=S△OBC+S△OCD﹣S△OAB進行計算即可.

（Ⅰ）連接OC,

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵∠AOC=2∠ABC=29°×2=58°，

∴∠D=90°﹣58°=32°；

（Ⅱ）①連接OB,

在Rt△OCD中，∵∠D=30°，

∴∠DOC=60°，

∵∠BAO=15°，

∴∠OBA=15°，

∴∠AOB=150°，

∴∠OBC=150°﹣60°=90°，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴

∵

在Rt△CBE中，

∴

②作BH⊥OA于H，如圖，

∵∠BOH=180°﹣∠AOB=30°，

∴

∴四邊形ABCD的面積=S△OBC+S△OCD﹣S△OAB