Question

【題目】解答題

（1）如圖1，已知⊙O的半徑是4，△ABC內接于⊙O，AC=4 ．
①求∠ABC的度數；
②已知AP是⊙O的切線，且AP=4，連接PC．判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）如圖2，已知ABCD的頂點A、B、D在⊙O上，頂點C在⊙O內，延長BC交⊙O于點E，連接DE．求證：DE=DC．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①連結OA、OC，如圖1，

∵OA=OC=4，AC=4 ，

∴OA2+OC2=AC2，

∴△OCA為等腰直角三角形，∠AOC=90°，

∴∠ABC= ∠AOC=45°；

②直線PC與⊙O相切．理由如下：

∵AP是⊙O的切線，

∴∠OAP=90°，

而∠AOC=90°，

∴AP∥OC，

而AP=OC=4，

∴四邊形APCO為平行四邊形，

∵∠AOC=90°，

∴四邊形AOCP為矩形，

∴∠PCO=90°，

∴PC⊥OC，

∴PC為⊙O的切線

（2）

證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，

∵∠E+∠A=180°，

∴∠E=∠B，

∴∠DCE=∠E，

∴DC=DE．

【解析】（1）①連結OA、OC，如圖1，利用勾股定理的逆定理證明△OCA為等腰直角三角形，∠AOC=90°，然后根據圓周角定理易得∠ABC=45°；
②先根據切線的性質得∠OAP=90°，再證四邊形APCO為平行四邊形，加上∠AOC=90°，則可判斷四邊形AOCP為矩形，所以∠PCO=90°，然后根據切線得判斷定理得到PC為⊙O的切線；（2）根據平行四邊形的性質得AB∥CD，AD∥BC，再由平行線的性質得∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，由圓內接四邊形的性質得∠E+∠A=180°，易得∠DCE=∠E，則根據等腰三角形的判定定理即可得到DC=DE．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．