Question

【題目】先讓我們一起來學習方程m2+1= 的解法：
解：令m2=a，則a+1= ，方程兩邊平方可得，（a+1）2=a+3
解得a1=1，a2=﹣2，∵m2≥0∴m2=1∴m=±1
點評：類似的方程可以用“整體換元”的思想解決．
不妨一試：
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+1經過點A（4，﹣3），頂點為點B，點P為拋物線上的一個動點，l是過點（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．

（1）求拋物線的解析式；
（2）①當P點運動到A點處時，通過計算發現：POPH（填“＞”、“＜”或“=”）；
（3）當△PHO為等邊三角形時，求點P坐標；
（4）如圖2，設點C（1，﹣2），問是否存在點P，使得以P、O、H為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+1經過點A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+1，頂點B（0，1）

（2）=
②當P點在拋物線上運動時，猜想PO與PH有何數量關系，并證明你的猜想；
解：結論：PO=PH．理由：設點P坐標（m，﹣ m2+1），
∵PH=2﹣（﹣ m2+1）= m2+1PO= = m2+1，
∴PO=PH
（3）

解：∵△PHO為等邊三角，

∴OP=OH．

由兩點間的距離公式可知：OH= ．

∴ m2+1= ，解得：m=±2 ，

∴P（2 ，﹣2）、（﹣2 ，﹣2）

（4）

解：∵BC= = ，AC= = ，AB= =4 ．

∴BC=AC，

∵PO=PH，以P，O，H為頂點的三角形與△ABC相似，

∴PH與BC，PO與AC是對應邊，

∴ ，設點P（m，﹣ m2+1），

∴ = ，解得m=±1．

∴點P坐標（1， ）或（﹣1， ）

【解析】解： （2）①當P點運動到A點處時．
∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH．
所以答案是：=．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．