Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊的中點，且BE⊥AC于點F，連接DF，則下列結論錯誤的是（　　）

A.△ADC∽△CFBB.AD＝DF

C.＝D.＝

Answer 1

【答案】C

【解析】

依據∠ADC=∠BCD=90°，∠CAD=∠BCF，即可得到△ADC∽△CFB；過D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，得出DM垂直平分AF，即可得到DF=DA；設CE=a，AD=b，則CD=2a，由△ADC∽△CFB，可得 ，可得b=a，依據，即可得出；根據E是CD邊的中點，可得CE：AB=1：2，再根據△CEF∽△ABF，即可得到 ．

∵BE⊥AC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠ACD=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠BCF，
∴△ADC∽△CFB，故A選項正確；
如圖，過D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，
∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=DC，
∴BM=AM，
∴AN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥AF，
∴DM垂直平分AF，
∴DF=DA，故B選項正確；
設CE=a，AD=b，則CD=2a，

∵∠ADC=∠BCD=90°，△ADC∽△CFB
∴∠CBE=∠DCA,

∴∠DAC=∠CEB,

∴△ADC∽△ECB，

由△ADC∽△ECB，可得，
即b=a，
∴，

AC= ,
∴，故C選項錯誤；
∵E是CD邊的中點，
∴CE：AB=1：2，
又∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴，故選D選項正確；
故選：C．