Question

【題目】在ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG．

（1）如圖1，當EF與AB相交時，若∠EAB=60°，求證：EG=AG+BG；

（2）如圖2，當EF與AB相交時，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數量關系（用含α的式子表示）；

（3）如圖3，當EF與CD相交時，且∠EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）首先作交于點H，易證得≌，又由，可證得是等邊三角形，繼而證得結論；
（2）首先作交于點H，作于點，易證得

≌，又由 易得，繼而證得結論；
（3）首先作交于點H，易證得≌，繼而可得是等腰直角三角形，則可求得答案．

試題解析：(1)證明：如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點H.

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH.

在△ABG和△AEH中，

∴≌ (ASA).

∴BG=EH，AG=AH.

∴△AGH是等邊三角形，

∴AG=HG.

∴EG=AG+BG.

(2)如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點H.作AM⊥EG于點M，

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH.

在△ABG和△AEH中，

∴≌ (ASA).

∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=α，

∴EG=GH+BG.

(3)

如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點H.

∴∠GAB=∠HAE.

∴∠ABG=∠AEH.

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH.

∴BG=EH，AG=AH.

∴△AGH是等腰直角三角形.