Question

【題目】如圖a，在正方形ABCD中，E、F分別為邊AB、BC的中點，連接AF、DE交于點G．

（1）求證：AF⊥DE；

（2）如圖b，連接BG，BD，BD交AF于點H．

①求證：GB2＝GAGD；

②若AB＝10，求三角形GBH的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）利用正方形性質結合題意得出AE＝BF，由此進一步證明△ADE與△BAF全等，從而得出∠BAF＝∠ADE，再進一步通過等量代換求得∠ADE+∠DAF＝90°，據此進一步分析即可證明結論；

（2）①首先證明△ABN△DAG得出AG＝BN，DG＝AN，然后再根據EG∥BN得出，所以AG＝GN，最后利用勾股定理可知在Rt△BNG中BG2＝BN2+GN2，由此通過等量代換進一步證明結論即可；②首先通過勾股定理求出DE，然后利用三角形等面積法求出AG，從而得知GN與BN，進一步利用△DGH~△BNH得出GH＝2HN，然后結合題意計算出GH，最后進一步計算答案即可.

（1）∵正方形ABCD，E、F分別為邊AB、BC的中點，

∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，

∴AE＝BF，

∵在△ADE和△BAF中，

∵

∴△ADE△BAF（SAS）

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF＝90°，

∴∠ADE+∠DAF＝90°，

∴∠AGD=90°，

∴AF⊥DE；

（2）①如圖b，過點B作BN⊥AF于N，

由（1）可得：∠BAF＝∠ADE，∠AGD=90°，AB=AD，

∴在△ABN與△DAG中，∠AGD＝∠ANB＝90°，∠BAF＝∠ADE，AB＝AD，

∴△ABN△DAG（AAS）

∴AG＝BN，DG＝AN，

∵∠AGE＝∠ANB＝90°，

∴EG∥BN，

∴，且AE＝BE，

∴AG＝GN，

∴AN＝2AG＝DG，

∵在Rt△BNG中，BG2＝BN2+GN2，

∴BG2=AG2+AG2，

∴GB2＝2AG2＝2AGAG＝GAGD，

即：GB2＝GAGD；

②∵AB＝10，

∴AE＝BF＝5，

∴DE＝＝＝5，

∵×AD×AE＝×DE×AG，

∴AG＝2，

∴AG＝GN＝BN＝2，

∴AN＝DG＝4，

∵GE∥BN，

∴△DGH~△BNH，

∴＝＝2，

∴GH＝2HN，

∵GH+HN＝GN＝2，

∴GH＝，

∴△GBH的面積＝×GH×BN＝××2＝．