Question

【題目】閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．
探究一：如圖1，在△ABC中，已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發現∠BOC=90°+ ∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB；
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣ ∠A）=90°+ ∠A．

（1）探究二：如圖2中，已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？并說明理由．
（2）探究二：如圖3中，已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？

Answer 1

【答案】
（1）解：探究2結論：∠BOC= ∠A．

理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一個外角，

∴∠2= ∠ACD= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，

∵∠2是△BOC的一個外角，

∴∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A，

即∠BOC= ∠A

（2）解：由三角形的外角性質和角平分線的定義，∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），

在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣ （∠A+∠ACB）﹣ （∠A+∠ABC），

=180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），

=180°﹣ （180°+∠A），

=90°﹣ ∠A

【解析】（1）根據角平分線的定義可得∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和和角平分線的定義可得∠2= ∠ACD= （∠A+∠ABC），∠BOC=∠2﹣∠1，然后整理即可得解；（2）根據三角形的外角性質以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據三角形的內角和定理解答．
【考點精析】本題主要考查了三角形的內角和外角和三角形的外角的相關知識點，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．