Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B=30°，∠C=50°。

（1）求∠DAE的度數；

（2）試寫出∠DAE與∠C、∠B之間的數量關系（不必說明理由）

Answer 1

【答案】(1)10°;(2).

【解析】

（1）根據三角形內角和定理求出∠BAC，再根據角平分線的定義求出∠BAD，根據直角三角形兩銳角互余求出∠DAE，然后求解即可；
（2）分兩種情況，利用（1）中的數據關系直接得出答案即可．

解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是角平分線，
∴∠BAE=∠BAC=×100°=50°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
（2）當∠C＞∠B時，如圖1，

根據三角形的內角和得，∠BAC=180°-（∠B+∠C），
∵AD是角平分線，
∴∠BAD=∠BAC=90°-[180°-（∠B+∠C）]= （∠B+∠C）-90°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-∠B-[（∠B+∠C）-90°]= （∠C-∠B），
∴∠DAE=（∠C-∠B）．
當∠C＜∠B時，如圖2，

同∠B＞∠C的方法得出，∠DAE=（∠B-∠C）．