Question

【題目】已知二次函數.

(1)證明:不論取何值，該函數圖像與軸總有公共點;

(2)若該函數的圖像與軸交于點(0,3)，求出頂點坐標并畫出該函數圖像;

(3)在(2)的條件下，觀察圖像，解答下列問題:

①不等式的的解集是 ;

②若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是 ;

③若一元二次方程在的范圍內有實數根，則的取

值范圍是 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）頂點（1,4）；作圖略(3)①0＜x＜2；②k＜4；③-5＜t≤4

【解析】試題分析：（1）令y=0得到關于x的方程，找出相應的a，b及c的值，表示出，整理配方后，根據完全平方式大于等于0，判斷出大于等于0，可得出拋物線與x軸總有交點，得證；
（2）由拋物線與y軸交于（0，3），將x=0，y=3代入拋物線解析式，求出m的值，進而確定出拋物線解析式，配方后找出頂點坐標，根據確定出的解析式列出相應的表格，由表格得出7個點的坐標，在平面直角坐標系中描出7個點，然后用平滑的曲線作出拋物線的圖象，如圖所示；
（3）由圖象和解析式即可可求得．

試題解析：(1)

∴不論m取何值，該函數圖象與x軸總有公共點，

(2)∵該函數的圖象與y軸交于點(0,3)，

∴把x=0，y=3代入解析式得：m=3，

∴頂點坐標為(1,4)；

列表如下：

x	2	1	0	1	2	3	4
y	5	0	3	4	3	0	5

描點；

畫圖如下：

(3)根據圖象可知：①不等式的解集是：0<x<2，

②由拋物線的解析式可知若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是：k<4，

③若一元二次方程在1<x<4的范圍內有實數根,t的取值就是函數在1<x<4的范圍內的函數值，由圖象可知在1<x<4的范圍內，故

故答案為0<x<2，k<4，