Question

【題目】如圖，以的一邊為直徑的交于點，點是弧的中點，連接并延長交于點．

（1）求證：；

（2）①若，當弧的長度是______時，四邊形是菱形；

②在①的情況下，當______時，是的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②2

【解析】

（1）連接，根據點E是弧BD的中點得到∠FAE=∠BAE，由AB是直徑可得∠AEB=∠AEF=90°，再根據ASA證明即可得到結論；

（2）①根據菱形的性質得到∠BOE=∠EOD=∠DOA=60°，再運用弧長公式即可求出弧AD的長；

②由①得∠A=60°可求出∠C=30°，利用直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=4，再根據CF=AC-AF求解即可．

（1）連接AE，如圖所示，

∵點E是弧BD的中點，

∴弧BE=弧DE

∴∠FAE=∠BAE，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AEB=∠AEF=90°

在△AEF和△AEB中，

∴△AEF≌△AEB

∴AF=AB

（2）①假設四邊形FDOE是菱形，則有

，

，

，

∴弧AD的長為：；

故弧AD的長度是時，四邊形FDOE是菱形；

②若CB是的切線，則有∠ABC=90°，

由①知∠A=60°，

∴∠ACB=30°，

∵AB=2，

∴AC=2AB=4

又AF=AB=2

∴CF=AC-AF=4-2=2，

∴當CF=2時，BC是圓O的切線．