Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.

（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；

（2）連接，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？

②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，S是否有最大值？如有，請(qǐng)求出最大值，沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1 ；（2）①PF=m2+3m，m=2；②S=；當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值為.

【解析】試題分析：（1）已知了拋物線的解析式，當(dāng)y=0時(shí)可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)對(duì)稱軸x= 可得出對(duì)稱軸的解析式；（2）①根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長(zhǎng)．根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出DE的長(zhǎng)，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值．②根據(jù)△BCF的面積=△PFC的面積+△PFB的面積，即可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可．

試題解析：

(1)A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1；

(2)①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

把B(3,0)，C(0,3)分別代入得：

，

解得：k=1，b=3，

∴直線BC的解析式為y=x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=1+3=2，

∴E(1,2)，

當(dāng)x=m時(shí)，y=m+3，

∴P(m,m+3)，

令y=x2+2x+3中x=1，得到y=4，∴D(1,4)，

當(dāng)x=m時(shí)，y=m2+2m+3，∴F(m,m2+2m+3)，

∴線段DE=42=2，

∵0<m<3，∴線段PF=m2+2m+3(m+3)=m2+3m，

連接DF，由PF∥DE，得到當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，

由m2+3m=2,得到m=2或m=1(不合題意,舍去)，

則當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形；

②連接BF、CF,設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M,由B(3,0) ,O(0,0)，

可得OB=OM+MB=3，

∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF(BM+OM)= PFOB，

∴S=×3(m2+3m)= m2+m= (0<m<3)，

則當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值為 .