Question

【題目】如圖1，一次函數y＝x+4與x軸、y軸分別交于A，B兩點．P是x軸上的動點，設點P的橫坐標為n．

（1）當△BPO∽△ABO時，求點P的坐標；

（2）如圖2，過點P的直線y＝2x+b與直線AB相交于C，求當△PAC的面積為20時，點P的坐標；

（3）如圖3，直接寫出當以A，B，P為頂點的三角形為等腰三角形時，點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣2，0）或（2，0）；（2）P（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；（3）點P的坐標為（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0）或（8，0）或（﹣3，0）．

【解析】

（1）根據坐標軸上點的特點求出A，B坐標，進而求出OA，OB，最后用相似三角形得出比例式建立方程即可得出結論；

（2）先求出點C坐標，點P坐標，利用三角形的面積公式建立方程求解即可得出結論；

（3）先求出AB2＝80，AP2＝（n+8）2，BP2＝n2+16，利用等腰三角形分三種情況建立方程求解即可得出結論．

解：（1）一次函數y＝x+4，

令x＝0，

∴y＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

令y＝0，

∴0＝x+4，

∴x＝﹣8，

∴A（﹣8，0），

∴OA＝8，

∵△BPO∽△ABO，

∴,

∴OP＝＝2，

∴n＝±2，

∴P（﹣2，0）或（2，0）；

（2）直線y＝2x+b①與直線AB：y＝x+4②相交于C，

聯立①②解得，，

針對于直線PC：y＝2x+b，令y＝0，

∴2x+b＝0，

∴x＝﹣b，

∵△PAC的面積為20，

∴S△PAC＝|﹣b﹣（﹣8）|×||＝20，

∴b＝16±4，

∴n＝﹣（16±4）＝﹣4±2，

∴P（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；

（3）由（1）知，A（﹣8，0），B（0，4），

∵P（n，0），

∴AB2＝80，AP2＝（n+8）2，BP2＝n2+16，

∵以A，B，P為頂點的三角形為等腰三角形，

∴①當AB＝AP時，

∴AB2＝AP2，

∴80＝（n+8）2，

∴n＝﹣8±4，

∴P（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0），

②當AB＝BP時，

∴AB2＝BP2，80＝n2+16，

∴n＝8或n＝﹣8（和點A重合，所以，舍去），

∴P（8，0），

③當AP＝BP時，

∴AP2＝BP2，（n+8）2＝n2+16，

∴n＝﹣3，

∴P（﹣3，0），

即：點P的坐標為（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0）或（8，0）或（﹣3，0）．