Question

【題目】已知正方形在平面直角坐標系中，點，分別在軸，軸的正半軸上，等腰直角三角形的直角頂點在原點，，分別在，上，且，．將繞點逆時針旋轉，得點，旋轉后的對應點為，．

（Ⅰ）①如圖①，求的長；②如圖②，連接，，求證；

（Ⅱ）將繞點逆時針旋轉一周，當時，求點的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①；②見解析；（Ⅱ）點的坐標為或．

【解析】

（1）①根據勾股定理求出EF的長，的長；根據SAS定理證明即可；

（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必與OF垂直；在旋轉過程中，E、F的軌跡是以O為圓心，OE（或OF）長為半徑的圓，若CF⊥OF，那么CF必為⊙O的切線，且切點為F；可過C作⊙O的切線，那么這兩個切點都符合F點的要求，因此對應的E點也有兩個；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可證得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的長，通過解直角三角形，不難得到E點的坐標，由此得解．

解：（Ⅰ）①∵等腰直角三角形的直角頂點在原點，，

∴，．

在中，由勾股定理，得．

∵是由繞點逆時針旋轉得到的，

∴．

②∵四邊形為正方形，

∴，

∵將繞點逆時針旋轉，得，

∴，

又是等腰直角三角形，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（Ⅱ）如圖，

∵OE⊥OF，

∴過點F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，

當三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周時，

則點F在以O為圓心，以OF為半徑的圓上．

∴過點F與OF垂直的直線必是圓O的切線．

又點C是圓O外一點，過點C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設為CF1和CF2，

此時，E點分別在E1點和E2點，滿足CF1∥OE1，CF2∥OE2．

當切點F1在第二象限時，點E1在第一象限．

cos∠COF1=，

∴∠COF1=60°，∴∠AOE1=60°．

∴點E1的橫坐標為：xE1=2cos60°=1，

點E1的縱坐標為：yE1=2sin60°=，

∴點E1的坐標為(1，)；

當切點F2在第一象限時，點E2在第四象限．

同理可求：點E2的坐標為(1，-)．

綜上所述，三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周，存在兩個位置，使得OE∥CF，

此時點E的坐標為E1(1，)或E2(1，-)．