Question

【題目】已知：拋物線：（、、為常數，且）與軸分別交于，兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）將平移后得到拋物線，點、在上（點在點的上方），若以點、、、為頂點的四邊形是正方形，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或

【解析】

（1）設交點式，將代入，即可求出表達式；

（2）平移拋物線，則a的值不變，設平移后的拋物線解析式為：，作出圖形，分三種情況討論，以BC為邊作正方形有兩種，以BC為對角線作正方形有一種，根據正方形的特點找到D，E坐標，代入解析式求出a即可．

（1）∵拋物線與軸分別交于，兩點，與軸交于點，

∴設交點式，

將代入得，解得

∴拋物線的表達式為：

（2）設平移后的拋物線解析式為：，

分三種情況討論：

①如圖所示，以BC為邊作正方形BCED，過E作EH⊥y軸于點H，過D作DG⊥x軸于點G

∵OB=OC=2

∴△OBC為等腰直角三角形

∴∠OBC=∠OCB=45°

又∵∠BCE=90°，∠EHC=90°

∴∠HCE=∠HEC=45°

在△HCE和△OBC中，

∵∠HCE=∠OBC=45°，CE=BC，∠HEC=∠OCB=45°，

∴△HCE≌△OBC（ASA）

∴CH=OB=2，HE=OC=2

∴OH=4

則E點坐標為(2，4)

同理可得D點坐標為(4，2)

將D，E坐標代入得：

，解得

此時解析式為：；

②如圖所示，以BC為邊作正方形BCED

此時E與B關于原點對稱，D與C關于原點對稱

∴E點坐標為(-2，0)，D點坐標為(0，-2)

將D、E坐標代入得：

，解得

此時解析式為：；

③以BC為對角線作正方形BDCE

此時D點與原點重合，E點坐標為(2，2)

將D、E坐標代入得：

，解得

此時解析式為：；

綜上所述，解析式為：或或．