Question

【題目】如圖1，在同一平面內，四條線AB、BC、CD、DA首尾順次相接，AD、BC相交于點O，AM、CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線，∠B＝α，∠D＝β．

（1）如圖2，AM、CN相交于點P．

①當α＝β時，判斷∠APC與α的大小關系，并說明理由．

②當α＞β時，請直接寫出∠APC與α，β的數量關系．

（2）是否存在AM∥CN的情況？若存在，請判斷并說明α，β的數量關系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①當α＝β時，∠APC＝α．理由見解析；②當α＞β時，∠APC＝（α+β）；

（2）不存在．理由見解析.

【解析】

（1）①當α=β時，根據三角形內角和定理得∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，則∠OCD=∠OAB，根據角平分線定義得∠2=∠4，所以∠APC=∠D=α；②∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，則∠2+β=∠4+∠APC，2∠2+β=α+2∠4，所以∠APC=（α+β）；

（2）若AM∥CN，則∠4=∠5，由∠5=∠2+∠D得到∠4=∠2+β，同理得∠3=∠1+α，然后把兩等式相加得到α+β=0，由此判斷不存在AM∥CN．

（1）如圖2，

①當α＝β時，∠APC＝α．理由如下：

在△ANP和△CND中，∠2+∠D＝∠4+∠APC，

在△AOB和△COD中，∠OCD+∠D＝∠B+∠OAB，

∵∠D＝∠B＝α，

∴∠OCD＝∠OAB，

∵AM、CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線，

∴∠OCD＝2∠2，∠OAB＝2∠4，

∴∠2＝∠4，

∴∠APC＝∠D＝α；

②當α＞β時，∠APC＝（α+β）；

∵∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，

∴∠2+β=∠4+∠APC，2∠2+β=α+2∠4，

∴∠APC=∠2-∠4+β，∠2-∠4=α-β

∴∠APC=α-β+β=α+β，

所以∠APC=（α+β）；

（2）不存在．理由如下：

如圖1，

若AM∥CN，則∠4＝∠5，

∵∠5＝∠2+∠D，

∴∠4＝∠2+β，

同理得∠3＝∠1+∠B，即∠3＝∠1+α，

∴∠3+∠4＝∠1+∠2+α+β，

∵AM、CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線，

∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，

∴α+β＝0，

∴不存在AM∥CN．