Question

【題目】問題原型：如圖①，在銳角中，，AD⊥BC于D，在AD上取點E，使，連結BE.求證：.問題拓展：如圖②，在問題原型的條件下，為的中點，連結并延長至點，使，連結.

圖①圖②

（1）判斷線段與的大小關系，并說明理由.（2）若，直接寫出、兩點之間的距離.

Answer 1

【答案】問題原型：見解析；（1），見解析；（2）.

【解析】

問題原型：由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，又∠ABC=45°可得∠ABC=∠BAD，可得AD=BD，根據SAS定理可得△BDE≌△ADC；
問題拓展：（1）利用SAS判斷出△BEF≌△CMF，得出BE=CM，即可得出結論；
（2）借助問題原型與問題延伸的結論判斷出△ACM是等腰直角三角形，即可得出結論．

解：問題原型：∵，

∴.

∴.

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴；

問題拓展：（1）.

理由：∵為的中點，

∴.

∵，，

∴.

∴.

∵，

∴；

（2）如圖②，

圖②
連接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠ACD，
由（2）知，△BEF≌△CMF，
∴∠EBF=∠BCM，
∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°，
∵AC=CM，
∴AM=AC=4．

故答案為：（1），見解析；（2）.