Question

【題目】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA，EC．

（Ⅰ）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；
（Ⅱ）如圖2，若點P在線段AB的中點，連接AC，判斷△ACE的形狀，并說明理由；
（Ⅲ）如圖3，若點P在線段AB上，連接AC，當EP平分∠AEC時，設AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度數．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，
∴AB=BC，BP=BF，
∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，
∵ ，
∴△APE≌△CFE，
∴EA=EC；
（Ⅱ）△ACE是直角三角形，理由是：
如圖2，∵P為AB的中點，
∴PA=PB，
∵PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（Ⅲ）設CE交AB于G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，
∵PE∥CF，
∴ ，即 ，
解得：a= b，
∴a：b= ：1，
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG= AG= （2 b﹣2b）=（2﹣ ）b，
又∵BG=2b﹣a=（2﹣ ）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．

【解析】（Ⅰ）根據正方形的性質證明△APE≌△CFE，可得結論；
（Ⅱ）分別證明∠PAE=45°和∠BAC=45°，則∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（Ⅲ）分別計算PG和BG的長，利用平行線分線段成比例定理列比例式得： ，即 ，
解得：a= b，得出a與b的比，再計算GH和BG的長，根據角平分線的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行線的內錯角得：∠AEC=∠ACB=45°．