Question

（2013•鎮江模擬）請你設計一個包裝盒，如圖1所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形（E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點），再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖2中的點P，正好形成一個底為正方形的包裝盒，設AE=FB=xcm．
（1）若x=20cm，包裝盒底面正方形面積為

800

cm²；側面積為

1600

cm²
（2）設包裝盒側面積為S，
①求S與x之間的函數關系式；
②若要求包裝盒側面積S最大，問此時x應取何值？并求出最大面積；
（3）試問能否用包裝盒盛放一個底面半徑為15cm，高為15cm的圓柱形工藝品？若不能，說明理由；若能，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可以求出EF的值，就可以求出包裝盒的高和地面正方形的邊長，從而得出結論；
（2）①根據條件可以分別表示出陰影部分的面積，掀起的四個角上的四個等腰直角三角形的面積之和及底部正方形的面積就可以表示出S與x之間的函數關系式；
②將①的解析式化為頂點式就可以求出S的最大值；
（3）設包裝盒的底面正方形的邊長為a，高為h，就可以得出AE=

2

2

a，EF=60-2AE=60-

2

a，h=

2

2

EF=30

2

-a，再三種情況討論就可以得出結論．

解答：解：（1）由題意，得
底面正方形的邊長為：20

2

cm，
包裝盒的高為：10

2

cm，
∴包裝盒底面正方形面積為：（20

2

）²=800cm²；
包裝盒的側面積為：10

2

×20

2

×4=1600cm²；
故答案為：800，1600；
（2）∵AE=FB=xcm，
∴EF的長為（60-2x）cm．
圖中陰影部分拼在一起是邊長為EF的正方形，其面積為：（60-2x）²cm²，
掀起的四個角上的四個等腰直角三角形的面積之和為：2x²cm²；
盒底正方形的邊長為

2

x，其面積為2x²；
∴S=60²-（60-2x）²-4x²=240x-8x²
∴S=-8（x²-30x）=-8（x-15）²+1800（0＜x＜30），
∵a=-8＜0．
∴拋物線的開口向下，S有最大值．
∴x=15cm時，側面積最大為1800cm²，
答：若包裝盒側面積S_最大=1800cm²最大，x應取15cm．
（3）包裝盒的底面正方形的邊長為a，高為h，
∴AE=

2

2

a，
∴EF=60-2AE=60-

2

a，
∴h=

2

2

EF=30

2

-a，
∴包裝盒的高h隨底面邊長的增大而減小．
①圓柱的底面朝下放入，此時包裝盒高h不能小于15．
∵圓柱的底面半徑為15cm，
∴盒底邊長最小取30cm（放入如①圖），
∴h=30

2

-a=30（

2

-1）＜15，故不能放下．
②圓柱體側面朝下放入，盒高h最小取30cm，
此時底面邊長最大為（30

2

-30）cm．
此時由兩種特殊的防治方法：
若按圖1放置，此時盒底邊長a取30cm，
∴高為30

2

-30．
∵30＞30

2

-30，
∴放不下；
若按圖2放置，此時盒底邊長為
a=30×

2

2

+15×

2

2

=

45 2

2

cm，
∵

45 2

2

-（30

2

-30）=30-

15

2

2

＞0，
∴也不能放下．
其他任意位置擺放，也不能放下，理由：
實質上就是將邊長為15和30的矩形放入另一矩形，如圖3，
此時矩形的面積S=（x+2y）（2x+y）=5xy+2（x²+y²），
=5x

225-x2

+450=5

225x2-x．4

+450．
令x²=t（0＜t＜225）
∴S=5

225t-t2

+450．
（x=0和15為圖1情況，x=

15

2

2

為圖2情況）
∴不能位置如何擺放，正方形的邊長最小只能渠道30cm，
而30＞30

2

-30，不能放下．
綜上所述，不能放下這個幾何體．

點評：本題考查了勾股定理的運用，矩形的面積的運用，正方形的性質的運用，二次函數的解析式的運用，分類討論思想的運用，解答時分類討論是難點．